Untitled

Prostý nosník - ilustračný príklad - detailné riešenie

Zadanie

Určte reakcie a priebehy vnútorných síl na zadanom prostom nosníku.
Dané: F = 20 kN, cosa = 0.6, sina = 0.8, q = 6 kN/m, M = 18 kNm.

Riešenie

1) Výpočet reakcií

Najskôr rozložíme silu F na vodorovnú zložku F_x a zvislú zložku F_y a spojité rovnomerné zaťaženie q medzi bodmi d,e nahradíme náhradným bremenom Q, ktoré pôsobí v ťažisku zaťažovacieho obrazca :

Teleso uvoľníme, tzn. nahradíme väzby (podpery) zložkami reakcií. Bod a je podoprený pevným neposuvným kĺbom. V tomto kĺbe vznikajú dve zložky reakcií - vodorovná zložka R_a,x a zvislá zložka R_a,y. Bod b je podoprený posuvným kĺbom, v ktorém vzniká iba jedna zložka reakcie - zvislá R_b,y. Veľkosť neznámych zložiek reakcií určíme z podmienok rovnováhy v tvare:
1)

2) Výpočet vnútorných síl
Výpočet vnútorných síl môžeme vykonávať sprava alebo zľava. V tomto príklade si ukážeme obidve možnosti. Vnútorné sily budú určované vo významných bodoch konštrukcie, ktorými v tomto prípade sú podoprené body a,b, ďalej pôsobisko c osamelej sily, začiatok d a koniec e spojitého rovnomerného zaťaženia a pôsobisko f osamelého momentu.

Normálové sily - určované zľava

Normálové sily sú sily pôsobiace v smere osi nosníka (v smere osi x), takže pri výpočte budeme sledovať tieto sily. Najskôr budeme určovať normálové sily zľava, tzn. budeme si teda všímať iba sily pôsobiace naľavo od vedených rezov.

N_a - vedieme rez v bode a tesne sprava. Na myslene odrezanej časti pôsobí v smere osi x iba sila R_a,x. Podľa konvencie o smere kladných normálových síl teda pôsobí záporne (pôsobí smerom do prierezu). Teda platí

N_c^l - vedieme rez v bode c tesne zľava. To znamená, že na myslene odrezanej časti nosníka nepôsobí eště sila F. V smere osi x teda pôsobí stále iba sila R_a,x. Podľa konvencie pre smer kladných normálových síl pôsobí záporne (pôsobí smerom do prierezu). Teda

N_c^p - vedieme rez v bode c tesne sprava. To znamená, že na odrezanej časti nosníka už pôsobí aj sila F. V smere osi x teda pôsobí iba reakcia R_a,x (záporne) a vodorovná zložka F_x sily F pôsobiaca podľa konvencie kladne (pôsobí von z prierezu). Teda

N_d^l - vedieme rez v bode d tesne zľava. Na odrezanej časti nosníka pôsobí v smere osi x reakcia R_a,x (záporne) a vodorovná zložka F_x (kladne). Teda

N_d^p - vedieme rez v bode d tesne sprava. Na odrezanej časti nosníka začíná pôsobiť spojité rovnomerné zaťaženie. To však pôsobí v smere osi y, takže neovplyvní normálové sily. V smere osi x teda pôsobí iba reakcia R_a,x (záporne) a vodorovná zložka F_x (kladne). Teda

N_e^l, N_e^p - ak vedieme rez v bode e tesne zľava alebo tesne sprava (teda na konci pôsobenia spojitého zaťaženia), vidíme, že na odrezanej časti nosníka nepribudlo žiadne zaťaženie ve smere osi x, ktoré by vyvolalo zmenu veľkosti normálových síl. V smere osi x teda pôsobí iba reakcia R_a,x (záporne) a vodorovná zložka F_x (kladne). Teda N_e^l = N_e^p = N_e

N_f^l, N_f^p - ak vedieme rez v bode f tesne zľava alebo tesne sprava (teda pred miestom pôsobenia osamelého momentu a za týmto miestom), vidíme, že moment neovplyvní normálové sily. V smere osi x teda stále pôsobí len reakcia R_a,x (záporne) a vodorovná zložka F_x (kladne). Teda N_f^l = N_f^p = N_f

N_b, ak určujeme normálovú silu v bode b, vedieme rez tesne zľava. Na odrezanej časti stále pôsobí v smere osi x len reakcia R_a,x (záporne) a vodorovná zložka F_x (kladne). Teda

Normálové sily - určované sprava

Teraz budeme určovať normálové sily sprava, budeme si teda všímat iba sily pôsobiace napravo od vedených rezov.

N_b - vedieme rez v bode b tesne zľava. Na odrezanej časti nepôsobí v smere osi x žiadna sila. Teda

N_f^p, N_f^l - ak vedieme rez v bode f tesne sprava alebo tesne zľava, zistíme, že na odrezanej časti nepôsobí ani v jednom případe v smere osi x žiadna sila.
Teda N_f^p = N_f^l = N_f

N_e^p, N_e^l - ak vedieme rez v bode e tesne sprava alebo tesne zľava, dôjdeme ke rovnakému záveru aako v predchádzajúcom prípadě - na odrezanej časti nepôsobí ani v jednom prípade v smere osi x žiadna sila.
Teda platí N_e^p = N_e^l = N_e

N_d^p, N_d^l - ak vedieme rez v bode d tesne sprava alebo tesne zľava, zistíme, že se opäť opakuje situácia z predchádzajúcich dvoch případov - na odrezanej časti nepôsobí ani v jednom prípade vesmere osi x žiadna sila.
Teda N_d^p = N_d^l = N_d

N_c^p - ak vedieme rez v bode c tesne sprava, t.j. tesne pred pôsobiskom sily F. Na odrezanej časti teda stále ešte nepôsobí žiadna sila v smere osi x. Teda

N_c^l - ak vedieme rez v bode c tesne zľava, t.j. tesne za pôsobiskom sily F. Na odrezanej časti teraz už pôsobí zaťaženie v smere osi x, a to vodorovná zložka F_x. Táto zložka pôsobí proti konvenci (pôsobí do prierezu), teda záporne.

N_a - ak vedieme rez v bode a tesne sprava, potom na odrezanej časti pôsobí v smere osi x iba vodorovná zložka F_x (záporne). Teda

Obrazec normálových síl

Ak máme vypočítané hodnoty normálových síl, môžeme nakresliť tzv. obrazec normálových sil (graf normálových sil, priebeh normálových sil). Ten vykreslíme tak, že na os nosníka vynesieme vypočítané hodnoty. Kladné hodnoty normálových sil vynášame nad os nosníka, záporné pod os nosníka. Vynesené body potom spojíme odpovedajúcimi krivkami. V našom prípade vyvolajú normálové sily iba osamelé sily R_a,x a F_x, teda obrazec bude po častiach konštantný.

Posúvajúce sily - určované zľava

Posúvajúce sily sú sily pôsobiaca kolmo na os nosníka (v smere osi y), takže pri výpočte budeme sledovať tieto sily. Najskôr budeme určovať posúvajúce sily zľava, budeme si teda všímat iba sily pôsobiace naľavo od vedených rezov.

V_a - vedieme rez v bode a tesne sprava. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y iba reakcia R_a,y. Podľa konvencie kladných posúvajúcich síl pôsobí v smere kladnom. Teda

V_c^l - vedieme rez v bode c tesne zľava. To znamená, že na odrezanej časti nosníka nepôsobí eště sila F. V smere osi y teda pôsobí stále iba reakcia R_a,y (kladne). Teda

V_c^p - vedieme rez v bode c tesne sprava. To znamená, že na odrezanej časti nosníka už pôsobí aj sila F. V smere osi y potom pôsobí reakcia R_a,y (kladne) a zvislá zložka F_y sily F, pôsobiaca proti kladnej konvencii posúvajúcich síl, tj. záporne. Teda

V_d^l - vedieme rez v bode d tesne zľava. Na odrezanej časti nosníka pôsobí v smere osi y reakcia R_a,y (kladne) a zvislá zložka F_y (záporne). Teda

V_d^p - vedieme rez v bode d tesne sprava. Na odrezanej časti nosníka začíná pôsobiť spojité rovnomerné zaťaženie. Účinok tohto zaťaženie záleží na dĺžke pôsobenia. Ak sme v bode d, potom dĺžka pôsobenia zaťaženia na odrezanej časti je nulová, a preto i účinok zaťaženia je nulový. V smere osi y tak stále pôsobí iba reakcia R_a,y (kladne) a zvislá zložka F_y (záporne). Teda

V_e^l - vedieme rez v bode e tesne zľava. V smere osi y na odrezanej časti nosníka pôsobí reakcia R_a,y (kladne), zvislá zložka F_y (záporne) a celé spojité rovnomerné zaťaženie, ktoré je nahradené náhradným bremenom Q (prepokladáme nulovú vzdálenosť rezu od bodu e). Toto náhradné bremeno vyvolává taktiež zápornú posúvajúcu silu. Teda

V_e^p - vedieme rez v bode e tesne sprava. V smere osi y na odrezanej časti nosníka pôsobí reakcia R_a,y (kladne), zvislá zložka F_y (záporne) a celé spojité rovnomerné zaťaženie, ktoré je už nahradené náhradným bremenom Q pôsobiaca záporne. Teda

V_f^l, V_f^p - ak vedieme rez v bode f tesne zľava alebo tesne sprava (teda pred miestom pôsobenia osamrlého momentu a za týmto miestom), vidíme, že na odrezanej časti nosníka nepribudne oproti rezu v bode e žiadne dalšie zaťaženie v smere osi y, ktoré by vyvolalo zmenu posúvajúcej sily. Na ľavú časť nosníka tak stále pôsobí iba reakcia R_a,y (kladne), zvislá zložka F_y (záporne) a spojité rovnomerné zaťaženie, už nahradené náhradným bremenom Q (záporne). Teda V_f^l = V_f^p = V_f

V_b - ak určujeme posúvajúcu silu v bode b, vedieme rez tesne zľava. Na odrezanej časti stále pôsobí v smere osi y reakcia R_a,y (kladne), zvislá zložka F_y (záporne) a náhradné bremeno Q (záporne). Teda

posúvajúce sily - určované sprava

Nyní budeme určovat posúvajúce sily sprava, budeme si teda všímat iba sil pôsobiacach napravo od vedených rezů.

V_b - vedieme rez v bode b tesne zľava. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y reakcia R_b, ktorá podľa konvencie vyvolává zápornú posúvajúcu sílu. Teda

V_f^p, V_f^l - ak vedieme rez v bode f tesne sprava alebo tesne zľava, zistíme, že na odrezanej časti pôsobí v smere osi y v obidvoch prípadoch iba reakcia R_b (záporne). Teda V_f^p = V_f^l = V_f

V_e^p - vedieme rez v bode e tesne sprava. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y iba reakcia R_b (záporne). Teda

V_e^l - vedieme rez v bode e tesne zľava. Na odrezanej časti pôsobí ve smere osi y reakcia R_b (záporne) a dďalej začíná pôsobiť spojité zaťaženie. Dĺžka pôsobenia tohto zaťaženie na odrezanej časti je však nulová a teda aj účinok zaťaženia je nulový. Teda

V_d^p - vedieme rez v bode d tesne sprava. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y reakcia R_b (záporne) a celé spojité rovnomerné zaťaženie (za predpokladu nulovej vzdialenosti bodu d od miesta rezu), ktoré je už nahradené náhradným bremenom Q, ktoré vyvolá kladnú posúvajúcu silu. Teda platí

V_d^l - vedieme rez v bode d tesne zľava. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y reakcia R_b (záporne) a celé spojité rovnomerné zaťaženie, už nahradené náhradným bremenom Q, vyvolávajúcim kladnú posúvajúcu silu. Teda

r V_c^p - vedieme rez v bode c tesne sprava, t.j. tesne pred pôsobiskom sily F. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y reakcia R_b (záporne) a náhradné bremeno Q (kladne). Teda

V_c^l - vedieme rez v bode c tesne zľava, t.j. tesne za pôsobiskom sily F. Na odrezanej časti teraz pôsobí v smere osi y, okrem reakcie R_b (záporne) a náhradného bremena Q (kladne) tiež zvislá zložka F_y, pôsobiaca taktiež kladne. Teda

V_a - vedieme rez v bode a tesne sprava. Na odrezanej časti pôsobí v smere osi y reakcia R_b (záporne), náhradné bremeno Q (kladne) a zvislá zložka F_y (kladne). Teda

Obrazec posúvajúcich síl

	Ak máme vypočítané hodnoty posúvajúcich síl, môžeme nakreslit tzv. obrazec posúvajúcich síl (graf posúvajúcich síl, priebeh posúvajúcich síl). Ten vykreslíme tak, že na os nosníka vynesieme vypočítané hodnoty. Kladné hodnoty posúvajúcich sil vynášíme nad os nosníka, záporné pod os nosníka. Vynesené body potom spojíme odpovedajúcimi krivkami. Medzi bodmi *a,c* a *c,d* bude priebeh konštantný, medzi bodmi *d,e* bude priebeh lineárny, pretože medzi bodmi pôsobí rovnomerné spojité zaťaženie, a medzi bodmi *e,f,b* bude priebeh opäť konštantný. Z obrazca vidíme, že medzi bodmi *e,d* pretíná graf os nosníka (os x). Takémuto miestu hovoríme "nebezpečný" prierez, pretože v tomto mieste vzniká medzi bodmi *d,e* maximálny ohybový moment. Musíme teda presně určiť (lokalizovať) toto miesto x.
	Určenie hodnoty x zľava ak vedieme rez medzi bodmi *d,e* v mieste x, tak posúvajúce sily vyvodia reakciu *R_a,y, zložka F_y* a časť spojitého zaťaženia q pôsobiaceho na dĺžke x. Náhradné bremeno *Q_x* má veľkosť *Q_x=q.x*. Potom pre veľkosť posúvajúcej sily platí : My však hľadáme také x, pre ktoré platí , teda hľadáme riešenie rovnice v tvare Riešením tohto vzťahu dostávame vzťah pre hľadanú hodnotu x :
	Určenie hodnoty x' sprava ak vedieme rez medzi bodmi *d,e* v mieste x, tak posúvajúce sily vyvodia reakciu *R_b* a časť spojitého zaťaženie q pôsobiaceho na dĺžke x'. Náhradné bremeno *Q'_x* má veľkosť *Q'_x* = *q.x'*. Potom pre veľkosť posúvajúcej sily platí : My hľadáme také x', pre ktoré platí teda hľadáme riešenie rovnice Riešením tohto vzťahu dostáváme vzťah pre hľadanú hodnotu x' :

Ohybové momenty - určované zľava

Ohybové momenty sú momenty pôsobiace v rovine nosníka (v rovině x,y), ktoré sa snažia nosník ohýbat. Všetky zaťaženia z myslene odrezanej časti nosníka, ktoré vyvolájú momentový účinok k miestu rezu, uvažujeme pri výpočte ohybových momentov. Najskôr budeme určovať ohybové momenty zľava.

M_a - vedieme rez v bode a tesne sprava. Na odrezanej časti pôsobí reakcia R_a,x a R_a,y. Zložka R_a,x nevyvodí moment k bodu rezu, pretože nositeľka reakcie prechádza rezom. Zložka R_a,y precháza bodem a, takže tiež nedokáže vyvodiť moment k rezu (prepokladáme, že vzdialenosť bodu a od rezu je nulová). Teda

M_c^l - vedieme rez v bode c tesne zľava. Znamená to, že na odrezanej časti nosníka nepôsobí ešte sila F. Na odrezanej časti pôsobí reakcia R_a,x a R_a,y. Zložka R_a,x nevyvodí moment k bodu rezu, pretože nositeľka reakcie opäť prochádza rezom (nositeľka prechádza všetkými bodmi nosníka, takže v žiadnom reze nevyvodí momentový účinok). Zložka R_a,y pôsobí na ramene L₁ a teda vyvodí moment, který bude otáčať okolo bodu c podľe konvencie kladne (teda bude ťahať dolné vlákna). Teda

M_c^p - vedieme rez v bode c tesne sprava.Na odrezanej časti nosníka už pôsobí aj sila F. Z odrezanej časti vyvodí moment iba reakcia R_a,y na ramene L₁ otáčejúca kladne. Zložka F_x rovnako ako reakcia R_a,x nevyvodí moment, pretože prechádza bodom rezu. Zložka F_y pôsobí v bode c a za predpokladu, že vzdialenosť miesta rezu od bodu c je nulová, nevyvodí ani zložka F_y žiadny momentový účinok k bodu c. Teda

M_d^l - vedieme rez v bode d tesne zľava. Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment reakcia R_a,y a zložka F_y. Reakcia R_a,y pôsobí na ramene (L₁+L₂) a okolo bodu d otača kladne (ťahá dolné vlákna). Zložka F_y pôsobí na ramene L₂ a okolo bodu d otača proti kladnej konvenci, tj. záporne (tlačí dolné vlákna). Výsledný ohybový moment v reze je

M_d^p - vedieme rez v bode d tesne sprava. Na odrezanej časti nosníka začíná pôsobiť spojité rovnomerné zaťaženie. Účinok tohto zaťaženia záleží na dĺžke pôsobenia. Ak sme v bode d, potom dĺžka pôsobenia zaťaženia na odrezanej časti je nulová, a preto aj účinok zaťaženia je nulový (nevyvodí moment rovnako ako nevyvodí posúvajúcu silu). Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment opäť iba reakcia R_a,y a zložka F_y ako v predchádzajúcom reze. Obidve sily pôsobia tiež na rovnakých ramenách a otáčajú rovnakým smerom, takže platí rovnaký vzťah :

M_x - pretože sme pri výpočte posúvajúcich síl našli nebezpečný prierez, musíme v tomto reze určiť veľkosť momentu. Veďme teda rez v bode x. Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment reakcia R_a,y,zložka F_y a náhradné bremeno Q_x, ktoré nahradzuje časť spojitého zaťaženia pôsobiaceho na odrezanej časti. Reakcia R_a,y pôsobí na ramene (L₁+ L₂+x) a otáča kladne. zložka F_y pôsobí na rameni (L₂+ x) a otáča záporne. Náhradné bremeno Q_x pôsobí na ramene x/2 a otáča tiež záporne. Výsledný ohybový moment v rezu potom je

M_e^l - vedieme rez v bode e tesne zľava. Z odrezanej časti nosníka vyvodí momentový účinok iba reakcia R_a,y, zložka F_y a náhradné bremeno Q (předpokládáme, že vzdialenosť rezu k bodu e je nulová). Reakcia R_a,y pôsobí na ramene (L₁+ L₂+L₃) a okolom bodu e otača podľa konvencie kladne (ťahá dolné vlákna). Zložka F_y pôsobí na ramene (L₂+ L₃) a okolo bodu e otáča podľa konvencie záporne (tlačí do dolných vlákien). Náhradné bremeno Q pôsobí na ramene L₃ /2 a okolo bodu e otáča podľa konvencie záporne (tlačí dolní vlákna). Výsledný ohybový moment v rezu potom je

M_e^p - vedieme rez v bode e tesne sprava. Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment opäť reakcia R_a,y, zložka F_y a náhradné bremeno Q. Všetky sily pôsobia na rovnakých ramenách a otáčajú rovnakým smerom ako v predchádzajúcom reze. Platí teda rovnaký vzťah :

M_f^l - vedieme rez v bode f tesne zľava (teda pred miestom pôsobenia osamelého momentu). Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment opäť iba reakcia R_a,y, zložka F_y a náhradné bremeno Q. Všetky sily otáčajú okolo bodu f rovnakým smerom ako v predchádzajúcich dvoch rezoch (majú teda rovnaké znamienka), pôsobí však na iných ramenách. Reakcia R_a,y na ramene (L₁+L₂+L₃+L₄)= (L-L₅), zložka F_y na ramene (L₂+L₃+L₄) a náhradné bremeno Q na ramene (L₃ /2+L₄). Výsledný moment potom je :

M_f^p - vedieme rez v bode f tesne sprava (teda za miestom pôsobenia osamelého momentu). Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment reakcia R_a,y, zložka F_y, náhradné bremeno Q a osamělý moment M. Všetky sily pôsobia na rovnakých ramenách a otáčajú okolo bodu f rovnakým smerom ako v predchádzajúcom reze. Naviac tu pôsobí ešte moment M, ktorý otača podľae konvencie záporne. Výsledný moment potom je :

M_b - ak určujeme ohybový moment v bode b, vedieme rez tesne zľava. Z odrezanej časti vyvodí moment reakcia R_a,y na ramene L (otáčí kladne), zložka F_y na ramene (L-L₁) (záporne), náhradné bremeno Q na ramene (L₃ /2+L₄+L₅) (záporne) a moment M (záporne). Výsledný moment potom je :

Ohybové momenty - určované sprava

Teraz budeme určovať ohybové momenty sprava, tzn. budeme uvažovať iba sso silami pôsobiacimi napravo od vedených rezov.

M_b - vedieme rez v bode b tesne zľava. Na odrezanej časti pôsobí iba reakcia R_b, ktorá nevyvodí k miestu rezu moment, pretože predpokládáme, že vzdialenosž rezu od bodu b je nulová. Teda

M_f^p - vedieme rez v bode f tesne sprava (teda pred miestom pôsobenia osamelého momentu). Z odrezanej časti momentový účinok vyvodí iba reakcia R_b, pôsobiaca na ramene L₅ a otáčajúca podľa konvencie kladne. Teda
e

M_f^p - vedieme rez v bode f tesne zľava (teda za miestom pôsobenia osamelého momentu). Z odrezanej časti moment vyvodí iba reakcia R_b a osamelý moment M. Reakcia R_b pôsobí na ramene L₅ a otáča okolo bodu f podľa konvencie kladne. Osamělý moment M otáčí také kladne. Teda

M_e^p - vedieme rez v bode e tesne sprava. Z odrezanej časti vyvodí moment reakcia R_b a osamelý moment M. Reakcia R_b pôsobí na ramene (L₄ + L₅) a otáča kladne. Moment taktiež otáča kladne. Teda

M_e^l - vedieme rez v bode e tesne zľava. Na odrezanej časti nosníka začíná pôsobiť spojité rovnomerné zaťaženie. Účinok tohto zaťaženia záleží na dĺžke pôsobenia. Ak sme v bode e,potom dĺžka pôsobenia zaťaženia na odrezanej časti je nulová, a preto aj účinok zaťaženia je nulový (nevyvodí moment rovnako ako nevyvodí posúvajúcu silu). Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment iba reakcia R_b a osamelý moment M na rovnakých ramenách ako v predchádzajúcom reze. Platí preto rovnaký vzťah :

M_x - pretože sme pri výpočte posúvajúcich síl našli aj nebezpečný prierez, musíme v reze cez neho určiť aj veľkosť momentu v ňom. Vedieme teda rez v bode x. Z odrezanej časti nosníka vyvodí moment iba reakcia R_b, osamelý moment M a náhradné bremeno Q'_x,ktoré nahrádza časť spojitého zaťaženia pôsobiaceho na odrezanej časti. Reakcia R_b pôsobí na ramene (x'+L₄+L₅) a otáča kladne. Osamelý moment otáča tiež kladne a náhradné bremeno Q'_x pôsobí na ramene x'/2 a otáča záporne. Výsledný ohybový moment v rezu potom je

M_d^p - vedieme rez v bode d tesne sprava. Z odrezanej časti vyvodí moment k miestu rezu reakcia R_b, osamělý moment M a náhradné bremeno Q (predpokladáme, že vzdialenosť rezu k bodu e je nulová). Reakcia R_b pôsobí na ramene (L₃+L₄+L₅) a otáča kladne. Osamelý moment M tiež otáča kladne a náhradné bremeno Q pôsobí na ramene (L₃ /2) a otáča proti konvenci, teda záporne. Pre výsledný ohybový moment potom platí :

M_d^p - vedieme rez v bode d tesne zľava. Z odrezanej časti vyvodí moment k miestu rezu reakceia R_b, osamělý moment M a náhradné bremeno Q. Obidve sily a moment pôsobia na rovnakých ramenách a otáčajú rovnakým smerom ako v predchádzajúcom reze. Takže platí rovnaký vzťah :

M_c^p - vedieme rez v bode c tesne sprava. To znamená, že na odrezanej časti nosníka nepôsobí eště sila F. Z odrezanej časti vyvodí moment k miestu rezu iba reakcia R_b, osamelý moment M a náhradné břemeno Q. Reakcia R_b pôsobí na ramene (L-L₁) a otáča kladne. Osamelý moment M tiež otáča kladne a náhradné bremeno Q pôsobí na ramene (L₂+L₃ /2) a otáča záporne. Pre výsledný ohybový moment platí vzťah:

M_c^l - vedieme rez v bode c tesne zľava. To znamená, že na odrezanej časti nosníka už pôsobí aj sila F. Jej zložky F_x a F_y ale nevyvodia k miestu rezu moment, nakoľko zložka F_x prechádza bodom c a zložka F_y pôsobí na nulovom ramene. Moment k miestu rezu teda vyvodí iba reakcia R_b, osamelý moment M a náhradné bremeno Q. Obidve sily aj moment pôsobia na rovnakých ramenách a otáčajú rovnakým smerom ako v predchádzajúcom prípade, preto platí rovnaký vzťah :

M_a - vedieme rez v bode a tesne sprava. Z odrezanej časti vyvodí moment reakcia R_b, osamelý moment M, náhradné bremeno Q a zložka F_y. Reakcia R_b pôsobí na ramene L a otáčí kladne, osamelý moment M otáča tiež kladne, náhradné bremeno Q pôsobí na ramene (L₁+L₂+L₃ /2) a otáča záporne a zložka F_y pôsobí na ramene L₁ a otáča tiež záporne. Pre výsledný moment platí teda vzťah :

Obrazec ohybových momentov

Ak máme vypočítané hodnoty ohybových momentov, môžeme vykreslit tzv. obrazec ohybových momentov (graf ohybových momentov, priebeh ohybových momentov). Ten vykreslíme tak, že na os nosníka vynesieme vypočítané hodnoty. POZOR ! Kladné hodnoty ohybových momentov vynášame pod os nosníka, záporné nad os nosníka. Vynesené body potom spojíme odpovedajúcimi krivkami. Medzi bodmi a,c a c,d bude priebeh lineárny, medzi bodmi d,e bude priebeh parabolický, pretože na tomto údeku pôsobí rovnomerné spojité zaťaženie, a medzi bodmi e,f,b bude priebeh opät lineárny.

Záver

Vyriešením reakcií, výpočtom a vykreslením priebehu vnútorných síl, vrátane určenia polohy nebezpečného prierezu a maximálneho momentu sme vyriešili celú úlohu.
Na prvý pohľad je táto úloha zložitá a dlhá, ale to iba preto, že na tomto príklade sme chceli podrobne popísať princíp výpočtu vnútorných síl. Je dôležité si všimnúť, že nezáleží na tom, z ktorej strany vnútorné sily počítame. Často sa používa výpočet do polovice nosníka zľava a od polovice sprava. Záleží to iba na type jeho zaťaženia a na zvyklostiach riešiteľa. Tiež sa nepočítajú hodnoty všetkých vnútorných síl vo všetkých rezoch, ale iba tam, kde sa hodnoty menia, pretože priebehy vnútorných síl odpovedajú určitým pravislám a závislostiam.

Normálové sily - môže ich vyvodiť iba zaťaženie pôsobiace v osi nosníka (v osi x). V našom prípade pôsobí v osi x iba reakcia R_a,x a zložka F_x. Stačí teda určiť iba hodnoty N_a, N_c^l a N_c^p. Priebeh medzi jednotlivými bodmi bude konštantný.

Posúvajúce sily - môže vyvodiť iba zaťaženie působiace kolmo na os nosnika (v smere osi y). V našom prípade to sú reakcia R_a,y, zložka F_y, spojité rovnomerné zaťaženie q a reakcia R_b. Stačí teda určiť hodnoty V_a, V_c^l, V_c^p, V_d, V_e a V_b. Všimnime si. že tam, kde pôsobí zložka F_y je graf nespojitý (v mieste c je v grafe skok), preto je potrebné určiť posúvajúcu silu v tomto rezu tesne zľava i tesne sprava. Ďalej si všimnime, že veľkosť posúvajúcich síl v miestach začiatku a konca pôsobenia spojitého zaťaženia je tesne zľava i sprava rovnaká, preto v týchto miestach určujeme iba jednu hodnotu. A určite sme si všimli, že osamělý moment M neovplyvňuje ani normálové sily, ani posúvajúce sily. Priebehy medzi jednotlivými bodmi budú konštantné, až na časť medzi bodmi d,e. Nakoľko medzi týmito bodmi pôsobí spojité rovnomerné zaťaženie bude priebeh v tomto údeku lineárny.

Ohybové momenty - pri ich výpočte sa najviac uplatňuje výpočet zľava (do polovice nosníka) i sprava (od polovice nosníka). Všimnime si, že pokiaľ na nosníku pôsobí silové zaťaženie (osamelé bremená, spojité zaťaženia), tak je priebeh spojitý, dochází v grafe iba ku zlomom a zmenám typov priebehov (konštantný, lineární, parabolický). Preto stačí určovať iba jedny hodnoty v miestach rezu. Ak pôsobia na nosníku osamělé momenty, ako v našom prípade moment M, potom dochádza k nespojitosti v grafe (docháza ku skoku podobne ako pod silou u posúvajúcich síl). Z tohto dôvodu sa ohybové momenty určujú v mieste rezu tesne zľava i sprava. Priebehy medzi jednotlivými bodmi ľahko určíme z priebehu posúvajúcich sil. Tam, kde je posúvajúca sila konštantná, bude priebeh momentov lineárny, tam kde je priebeh posúvajúcich sil lineárny, bude mať priebeh momentov tvar paraboly 2°.

A teraz sa pozrime, ako by vyzeral náš riešený priklad, vyriešený s vyššie uvedenými znalosťami.

Prostý nosník - ilustračný príklad - bez podrobného popisu

Zadanie

Určte reakcie a priebehy vnútorných síl na zadanom prostom nosníku.
F = 20 kN, cosa = 0.6, sina = 0.8, q = 6 kN/m, M = 18 kNm.

Riešenie

1) Výpočet reakcií

Rozloženie sily F :

Nahradenie spojitého rovnomerného zaťaženia q :

Zakreslenie zložiek reakcií.
Podmienky rovnováhy :
1)

2) Výpočet vnútorných síl

Normálové sily

Posúvajúce sily

Nebezpečný prierez :

Ohybové momenty

Maximálny moment v nebezpečnom priereze x :

Záver

Je vidieť, že pokiaľ využijeme znalosti o priebehoch vnútorných síl, potom nie je výpočet tak náročný a zdĺhavý, ako sa mohlo zdať u detailného riešenia tohto príkladu.

Dúfam, že ste pochopili hlavne princíp určovania vnútorných síl, pretože tento princíp je rovnaký u všetkých ďalších jednoduchých aj zložitějších konštrukcií, pokiaľ je možné určiť veľkosti reakcií, prípadne veľkosti iných neznámých veličín.